jueves, 19 de abril de 2012


ALGEBRA BOOLEANA Ò ALGEBRA DE BOOLE

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought , publicado en 1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

Una álgebra de Boole es una tripleta (\mathfrak{B},+,\cdot). Donde \mathfrak{B}\neq\phi, + y \cdot son operaciones binarias y también operaciones internas en \mathfrak{B} y además para cualquier x,y,z\in\mathfrak{B} se cumplen los siguientes axiomas:
1. Propiedad conmutativa:
x + y = y + x \;
x \cdot y = y \cdot x
2. Propiedad asociativa:
x + (y + z) = (x + y) + z \;
x \cdot(y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z \;
3. Propiedad distributiva:
x + (y \cdot z) = (x + y) \cdot (x + z)
x \cdot( y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)

Algunos autores al definir un Algebra de Boole, prescinden del axioma o Ley Asociativa porque consideran que es una propiedad demostrable a partir de los restantes axiomas y propiedades ya demostradas. Por ejemplo, puede demostrarse la propiedad o Ley Asociativa a partir de los restantes axiomas y de la propiedad o Ley e Absorción.

Como retículo
Como retículo presenta las siguientes propiedades,las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:
a \cdot a = a \,
a + a = a \,
2. Ley de Asociatividad:
a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\,
a + (b + c) = (a + b ) + c \,
3. Ley de Conmutatividad:
a \cdot b = b \cdot a \,
a + b = b + a \,
4. Ley de Cancelativo
(a \cdot b) + a = a \,
(a + b) \cdot a = a \,
5. Ley de Absorción
a + (a \cdot b) = a \,
a \cdot (a + b) = a \,
Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma

aba + b
000
011
101
111
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
a + b = c \,
Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.



Operación producto

aba \cdot b
000
010
100
111
La operación producto ( \cdot ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
a \cdot b = c
Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.





Operación negación

a \bar {a}
01
10
La operación negación presenta el opuesto del valor de a:
\bar {a} = b \,
Un interruptor inverso equivale a esta operación:


Operaciones combinadas

ab \bar {a} \bar {a} + {b}
0011
0111
1000
1101
Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:
\bar {a} + {b} = c \,
Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.
Interruptor lógico 080.svg



FUENTE: WIKIPEDIA
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